Mathematik für Informatiker für Dummies

Produktbeschreibung

Ist der Mathematik-Schein auch für Sie die größte Hürde im Studium? Dabei brauchen Sie als Informatiker solide mathematische Grundkenntnisse, um Algorithmen zu verstehen und mit Anwendern aus Naturwissenschaft und Technik auf Augenhöhe zu kommunizieren. Dieses Buch vermittelt Ihnen auf verständliche Weise und immer mit Querbezügen zur Informatik die mathematischen Grundlagen, die alle Informatiker benötigen: Aussagenlogik, Rekursion, Induktion, Relationen, Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und lineare Algebra. Keine Sorge: Es werden lediglich Schulkenntnisse in Mathematik vorausgesetzt. 

Inhaltsverzeichnis

Über den Autor 9

Danksagungen 9

Einleitung 25

Über dieses Buch 25

Wen hatten wir bei diesem Buch besonders vor Augen 25

Durch welche Brille sehen wir also den Informatiker? 26

Und was bedeutet dies für uns? 26

Haben wir auch Nichtinformatiker als potenzielle Leser im Blick 27

Wie kann man dieses Buch lesen? 27

Welche Besonderheiten finden sich in unserem Buch 27

Auf welche weiteren (kleinen) Innovationen dürfen wir hinweisen? 28

Wann ist genug genug? 29

Und weitere Literatur ? 29

Kommunikation mit Autoren 30

Teil I: Natürliche Zahlen und Mengen - im Auge des Informatikers 31

Kapitel 1 Zahlen und ihre Logik 33

Was es über die Vielfalt der Zahlen zu sagen gibt 33

Zahlen zählen 34

Zahlen aufs Papier - und später auf den Rechner 35

Es darf auch etwas mehr sein - über die natürlichen Zahlen hinaus 36

Ganzzahlige Brüche - ein zweiter Nachschlag 37

Die Welt der rationalen Zahlen ist für Informatiker genug - Mathematiker sind
weniger bescheiden 39

Komplexe Zahlen erweitern den Zahlenraum ein weiteres Mal 41

Blick auf die Gipfel: Hyperkomplexe Zahlen und Oktionen 44

Wir wissen nun, über was wir reden, wir wollen jetzt wissen, wie wir darüber
reden 45

Prädikat - besonders wertvoll 45

(Mathematische) Wahrheit 46

Operatoren - Aus Zahlen werden Zahlen 47

Logische Operatoren - Schnittstellen zur Logik 48

Verrechnung von Wahrheitswerten 48

Junktoren 48

Wahrheitstabellen 49

Für den einen ist es duplo, für den anderen die längste Praline der Welt - zur
Doppelrolle der Zahlen in der formalen Logik 49

Quantoren in der Logik - Prädikate erhalten durch sie ihre Power 52

Der Existenzquantor ¿ 53

Umsetzung des Existenzquantors in eine Schleife für Programmierer 53

Allquantor ¿ 54

Kapitel 2 Im Assembler-Code der Mathematik - Handreichungen für Ungläubige 57

Gehen wir zurück auf Los 57

Was passiert eigentlich beim Rechnen? 58

Wir bringen dem Computer das Rechnen bei 58

Wie sehen die nächsten Schritte aus? 59

Rekursion - Vorbereitungen für die Induktion 60

Induktion - mit Warp 10 durch alle Zahlen 62

Anwendungen der Induktion - Return on invest 63

Beweis des Assoziativgesetzes 64

Wir kennen die Zahlen vom Zählen her - können wir sie auch abstract
charakterisieren? 65

Unendlich viele Zahlen auf einem endlichen Rechner? 66

Kapitel 3 Mengenlehre - im Maschinenraum der Mathematik 69

Mengenlehre - fängt man damit nicht immer an? 70

Die Sprache der Mengenlehre - Goethe wäre 'not' 70

Erste Anforderungen an den Mengenbegriff 71

Mengentheoretische Operationen 72

Äquivalenz von Aussagen - Gleichheit von Mengen 74

Eigenschaften der Operationen ¿, ¿ und ¿ 74

Fallstricke und Sicherungen 76

Weitere mengentheoretische Operationen 77

Mengen als logische Bausteine für die Implementierung von Zahlen 80

Spezielle Realisierungen des Zählprozesses 80

Mengen - was kann man sich darunter vorstellen 83

Linux-Filesystem als Modell für ein Mengensystem 83

Infinite in all directions 85

Mengen für Datenbanker 86

Abstraktionen 87

Datenbanken? - Keep it simple and stupid 88

Nur für Theoretiker: Suchen, bis die Sterne verglühen 88

Wer hat Angst vor Graphen? 90

Urlemente - ein bisschen Medienbruch 92

Mengenlehre für 'Informatiker mit der harten Kinnlade' 93

Prädikatenlogik mit einem einzigen Prädikat 93

Skolemisierung - oder wie destilliert man Operationen aus Aussagen 96

Teil II: Diskrete Strukturen 99

Kapitel 4 Spezielle Beziehungen - Äquivalenzen und Ordnungen 101

Äquivalenzrelationen - das Gleiche versus dasselbe 102

Äquivalenzrelation - die Erste 103

Äquivalenzrelation - die Zweite 108

Ordnungsrelationen - Ordnung in der mathematischen Welt 109

Geordnete Zahlen - die kleiner/gleich Beziehung 109

Verträglichkeiten 110

Teilbarkeit - auch eine Ordnung 111

Auch die Teilbarkeit ist relativ verträglich und pflegeleicht 111

Die mengentheoretische Inklusion - eine Ordnung für sich 112

Die Ordnungsbeziehungen - was haben sie gemein, was unterscheidet sie 112

Ordnungsbeziehungen und Grenzen 113

Graphen als Medium für die Darstellung partieller Ordnungen 114

Kapitel 5 Allgemeine Beziehungen und Beziehungskisten 117

Beziehungen als Tabellen 118

Inoffizielle Beziehungen 119

Realisierungen inoffizieller Beziehungen 120

Operieren mit Beziehungen 122

Jemanden kennen, der jemanden kennt, der Beziehungen hat 123

Spezialfälle: Verknüpfungen mit der inversen Beziehung 124

Verknüpfungen unterschiedlicher Relationen 125

Ausblick auf Relationen zwischen unterschiedlichen Mengen 126

Eindeutige Beziehungen - auf dem Weg zu Funktionen 127

Väter und Väter von Vätern 128

Funktionen und ihre allgemeinen Eigenschaften 129

Kapitel 6 Gruppen - es kann nicht nur eine geben 131

Über die Addition ganzer Zahlen 131

Beweis der Eindeutigkeit des neutralen Elements 132

Von den ganzen Zahlen zum allgemeinen Gruppenbegriff 132

Abstrakte kommutative Gruppen G 133

Nichtkommutative Gruppen 133

Beispiele von in der Natur auftretenden Gruppen - Symmetriegruppen 134

Gruppen und Faktorgruppen 139

Faktorgruppen der ganzen Zahlen 139

Allgemeine Gruppen und Faktorgruppen 141

Der Index einer Untergruppe H ¿ G 142

Untergruppen endlicher Gruppen 143

Kapitel 7 Ringe und Körper 147

Überblick Ringe 148

Überblick Körper 149

Ein Rückblick auf die Teilbarkeit und die Primzahlen 149

¿n als Restklassenring 151

Wohldefiniertheit der Operationen auf den Restklassen 151

Der Euklidische Algorithmus 152

Einheiten in ¿n 153

Eulersche ¿-Funktion 153

Return on Invest - das RSA Verfahren in der Kryptologie 154

Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren 155

Das RSA-Verfahren in der Theorie 155

Praktische Bemerkungen zum RSA-Verfahren 157

Kapitel 8 Graphentheorie 159

Zur Motivation 159

Das Haus vom Nikolaus 160

Gerichtete und ungerichtete Graphen 160

Zusammenhängende und unzusammenhängende Graphen 161

Schlingen und parallele Kanten, Nullgraph und einfacher Graph 162

Eckengrad 163

Algorithmische Eigenschaften des Eckengrads 164

Handshake-Lemma 164

Königsberger Brückenproblem 166

Eulergraph und Eigenschaften 167

Eulerkreis/Eulersche Touren 168

Adjazenzmatrix 168

Wann sind Graphen isomorph? - Adjazenzmatrizen 169

Alternative Tabellendarstellung - Inzidenzmatrizen 170

Bäume 171

Definition und Eigenschaften eines Baumes 171

Spannbaum 171

Definition von Wäldern 171

Wurzelbaum 172

Binärbäume 174

Suchbaum 175

Traversieren von Wurzelbäumen 175

Wie gehören Binärbäume und algebraische Ausdrücke zusammen? 176

Kürzeste Wege finden 177

Kruskal-Algorithmus 180

Prim-Algorithmus 180

Dijkstra-Algorithmus 181

Teil III: Analysis für Informatiker 183

Kapitel 9 Reelle Zahlen - der virtuelle Sprung in die Unendlichkeit 185

Irrationale Zahlen 185

¿2 ist eine irrationale Zahl 186

Reelle Zahlen 187

Die Einführung der reellen Zahlen - für Informatiker eine kleine Revolution 188

Elementare Eigenschaften der reellen Zahlen 189

Abschätzungen, die Analysis lebt davon 191

Betragsfunktion und Dreiecksungleichung 191

Bernoullische Ungleichung 193

Der Umgebungsbegriff 194

Unendliche Folgen 194

Technische Definition der Konvergenz 196

Arbeiten mit der technischen Definition 196

Besondere Eigenschaften konvergenter Folgen 197

Hinreichende Konvergenzbedingungen beschränkter Folgen 198

Wichtige Spezialfälle: Die Folgen (1 + 1¿n)n und (1 + 1¿n)n+1 200

Rekursiv definierte Folgen 201

Häufungspunkte von Folgen 205

Grenzwertsätze für Folgen - Handreichungen für Klausuren 206

Beweis des ersten Grenzwertsatzes 206

Beispielhafte Folgerungen aus den Grenzwertsätzen 207

Mehr Werkzeuge zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens 209

Das Cauchysche Konvergenzkriterium 209

Grenzwerte unendlicher Reihen 210

Die harmonische Reihe 210

Begriffliche Einordnung der unendlichen Reihen 211

Cauchysche Konvergenzkriterium für unendliche Reihen 212

Einfache Beispiele unendlicher Reihen 212

Wurzel- und Quotientenkriterium - die wichtigsten Konvergenzkriterien für Reihen
213

Absolute Konvergenz 218

Die allgemeine binomische Formel 224

Die Fakultätsfunktion 224

Binomialkoeffizienten 225

Binomische Formel 226

Kapitel 10 Pflegeleichte Funktionen - Stetigkeit und Differenzierbarkeit 229

Grundsätzliche Bemerkungen 230

'Durchhalteparolen' für die Analysis 231

Der Grenzwertbegriff bei Funktionen 232

Konvergenz mithilfe des Umgebungsbegriffs 233

Konvergenz unter Rückgriff auf Folgenkonvergenz 233

Konvergenzsätze 235

Anwendung der Konvergenzsätze auf die Exponentialfunktion 236

Stetige Funktionen 239

Beispiel einer Funktion, die nur an einer Stelle stetig ist 240

Wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen 240

Differenzierbare Funktionen 243

Die Landau-Symbole o() und O() 243

Differenzierbarkeit via o(x) 244

Differenzierbarkeit via Differenzenquotient 245

Beide Definitionen der Differenzierbarkeit sind äquivalent 247

Rechenregeln für Ableitungen 249

Verträglichkeit der Differenzialquotienten mit der Summenbildung 249

Produktregel 249

Quotientenregel 250

Kettenregel 251

Wichtige Beispiele differenzierbarer Funktionen 252

Differenzierbarkeit der Polynome 252

Ableitung der e-Funktion und des Logarithmus 253

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen 254

Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 257

Der Satz von Rolle 258

Folgerungen aus dem Mittelwertsatz 259

Die Regeln von l'Hospital 259

Wichtige Beispiele für die Anwendung der l'Hospitalschen Regeln 261

Taylorpolynome und Taylorentwicklung 263

Beispiele von Taylorentwicklungen 267

Analytische Funktionen als 'ganzheitliche' Funktionen 270

Kapitel 11 Integrale 271

Stammfunktionen 271

Integrale elementarer Funktionen 272

Partielle Integration 273

Integration per Substitution 275

Rationale Funktionen und Partialbruchzerlegungen 276

Bestimmte Integrale 279

Einstieg in die Flächenberechnung 279

Stammfunktionen 'in action' 281

Teil IV: Vom Würfelspiel zum Algorithmus 283

Kapitel 12 Wahrscheinlichkeitsrechnung - Regeln im Regellosen 285

Am Anfang war das Spiel - grundlegende Begrifflichkeiten der
Wahrscheinlichkeitsrechnung 286

Ereignisse und Elementarereignisse 286

Wahrscheinlichkeiten 290

Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten im formalen Rahmen 295

Bedingte Wahrscheinlichkeiten - corriger la fortune 297

Bedingte Wahrscheinlichkeiten reengineered - die Formel von Bayes 302

Zufallsvariable - geeignete Codierungen zufälliger Ereignisse 303

Zufallsvariable - Übertragung von Wahrscheinlichkeiten auf Zahlenmengen 304

Summen und Produkte von Zufallsvariablen 305

Von der Zufallsvariablen zur Verteilungsfunktion 306

Mittelwerte in verschiedenen Ausprägungen: Erwartungswerte und Varianzen 308

Der Erwartungswert der Streuung - die Varianz 311

Korrelationen - synchrone Streuungen 313

Kapitel 13 Die klassischen Verteilungen 317

Binomialverteilung 317

Münzwurf mit geänderten Spielregeln 318

Erwartungswerte und Varianzen für binomialverteilte Zufallsvariablen 319

Geometrische Verteilung 321

Geänderte Spielregeln 322

Poissonverteilte Zufallsvariablen 323

Näherungsverfahren für die Binomialverteilung - die Poissonverteilung 324

Erwartungswerte und Varianzen poissonverteilter Zufallsvariablen 326

Stetige Verteilungen 328

Exponentialverteilung 329

Normalverteilung 333

Kapitel 14 Testen! - Denn Vertrauen ist nicht immer gut 341

Die Ungleichung von Tschebyscheff 343

Normalverteilung und Tschebyscheffsche Ungleichung in der Gegenüberstellung 345

Tschebyscheffsche Ungleichung und die Gesetze der großen Zahlen 347

Beispielhafte Anwendung des Maximum-Likelihood-Prinzips 349

Über das Testen von Hypothesen 350

Signifikanztests 350

Alternativtests 353

¿2-Anpassung und ¿2-Test 358

Kapitel 15 Probabilistische Algorithmen - theoretisch interessant aus
praktischen Gründen 361

Sortierverfahren 362

Statistische Analyse des Quicksorts 362

Monte Carlo und Las Vegas - die ganze Wahrheit und nichts als die Wahrheit 364

Quicksort durch die Brille von Las Vegas betrachtet 364

Las Vegas liberalisiert - nur noch 'nichts als die Wahrheit' 364

Monte Carlo - 'die ganze Wahrheit' 370

Teil V: Sprung in den Hyperraum 375

Kapitel 16 Vektoren - aggregierte Zahlen 377

Erste Operationen mit Vektoren: Addition und skalare Multiplikation 377

Kräfte können in unterschiedlichen Reihenfolgen addiert werden 378

Die Addition von drei oder mehr Vektoren kann unterschiedlich geklammert werden
378

Zu jedem Vektor gibt es einen inversen Vektor 379

Vektoren können mit Zahlen multipliziert werden 380

Auch Geschwindigkeiten sind Vektoren 380

Das Skalarprodukt - hiermit erhält die Vektorrechnung ihre eigentliche Power 382

Das Skalarprodukt als Mittel zur Berechnung physikalischer Arbeit 382

Das Skalarprodukt erfasst geometrisch wichtige Sachverhalte - Orthogonalität,
Länge und Abstand 383

Die Algebraisierung der Geometrie 383

Algebraisierung der Geometrie 384

Die Algebraisierung der Geometrie zum Zweiten 387

Die Seitenhalbierenden - revisited 387

Vektoren in Koordinatensystemen 389

Auch umgekehrt wird ein Schuh draus: Vektoren erzeugen ein Koordinatensystem 393

Abstrakte Vektoren: Vektorräume 397

Einstieg in die Klasse Vector 397

Spezifikation von Vektorräumen 399

Strategische Begriffe 401

Auch der abstrakte Vektorraum kann als Aggregat von Zahlen aufgefasst werden 406

Aber wie decodieren wir ein ¿ eines abstrakten Vektorraumes V praktisch? 408

Erweiterung der Vektorraumspezifikation durch abstrakte Skalarprodukte 411

Die zweite Chance des Mathematikers 417

Die Natur spielt mit 418

Kapitel 17 Transformationen 419

Duale Basen 420

Kovariante und kontravariante Komponenten 422

Die Beziehungen zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten 422

Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Koordinaten bei orthonormierten
Basen 423

Nicht orthonormale Basen - könnten wir auf sie verzichten? 424

Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren mit Hilfe dualer Basen 426

Lineare Abbildungen 427

Drehungen 427

Matrizen - operationelle Codierung linearer Abbildungen 428

Basistransformationen 434

Matrizen der Basistransformation 434

Besondere Eigenschaften der Matrizen der Basistransformationen 434

Die Matrizen der Basistransformationen als Matrizen einer Abbildung 435

Basistransformationen orthonormierter Basen 437

Kapitel 18 Lineare Gleichungssysteme - Number Crunching in der linearen Algebra
439

Gleichungssysteme und zugehörige Matrizen 440

Bedingungen der Lösbarkeit von Gleichungssystemen 441

Der Gaußsche Algorithmus 442

Homogene und inhomogene Gleichungssysteme 445

Determinanten in Aktion 446

Eigenwerte und Eigenvektoren 448

Auffinden der Eigenwerte 449

Berechnung der Eigenvektoren 449

Eigenvektoren und Diagonalisierung von Matrizen 450

Besonderheiten symmetrischer Matrizen 451

Teil VI: Höhere Weihen in der Analysis 453

Kapitel 19 Skalierung der Differenzierbarkeit 455

Behandlung von Funktionen zweier Variablen 455

Differenzierbarkeit von Funktionen zweier Variablen 456

Nichtdifferenzierbare Funktionen trotz Existenz partieller Ableitung 458

Hinreichende Bedingungen für die Differenzierbarkeit 461

Behandlung von Funktionen beliebig vieler Variablen 462

Vektorwertige Funktionen 463

Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen 463

Rechenregeln für Gradienten und Funktionalmatrizen 464

Hesse-Matrix und Taylorentwicklungen 466

¿ als Vektoroperator 466

Kritische Punkte und Extremwerte 468

Analyse der Hesse-Matrix 469

Beispielrechnung zur Analyse kritischer Punkte 470

Kapitel 20 Potenziale als Stammfunktionen 473

Generelle Bemerkungen zum Begriff Stammfunktion 473

Ansätze zur Definition des Integrals ¿x¿x0F(¿s)ds 474

Notiz zu F(si) ¿ (¿s)i = F(¿(ti)) ¿ ¿(t¿ i)(¿t)i 475

Vektorfelder 475

Notwendige Integrationsbedingungen für Vektorfelder 476

Kurvenintegrale über Vektorfelder 477

Hinreichende Integrationsbedingungen für Vektorfelder 480

Existenz eines globalen Potenzials trotz Existenz einer Singularität 481

Beispielhafte Berechnung einer Potenzialfunktion 482

Kapitel 21 Steilkurs in komplexer Funktionentheorie 485

Das formale Rechnen mit komplexen Zahlen 485

Addition komplexer Zahlen 486

Multiplikation komplexer Zahlen 486

Inverse komplexer Zahlen 486

Komplexe Zahlen als abstrakter Datentyp 487

Äquivalente Modelle komplexer Zahlen 487

Alternative Modelle 488

Auch Äquivalenzklassen von Polynomen verhalten sich wie komplexe Zahlen 490

Komplexe Differenzierbarkeit 492

Quick-and-dirty-Überlegungen 492

Ein zweiter Blick auf die Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen 493

Komplexe Kurvenintegrale 494

Kurvenintegrale und komplexe Differenzierbarkeit 495

Auf dem Weg zur Cauchyschen Integralformel 496

Beweis der Cauchyschen Integralformel 496

Analytizität komplex differenzierbarer Formeln 498

Drei wichtige Folgerungen 500

Kapitel 22 Hilberträume 503

Komplexe Vektorräume 504

Komplexe Skalarprodukte 505

Beispiele komplexer Vektorräume 507

Hilbertbasen für Tupel 510

Hilbertbasen für Treppenfunktionen 511

Reduktionen der Treppenbreite 512

Treppenfunktionen der Treppenbreite 512

Ein neuer Ansatz - eine letzte Chance 515

Neue Basen, neue Normierungen 519

Die ¿-Funktion - ein 'Außenskelett' für Hilberträume 522

Management summary des Wegs hin zur ¿-Funktion 524

Der Hilbertraum der periodischen Funktionen 526

Funktionen mit Periode 2¿ 526

Die e-Funktionen als universelle Bausteine 526

Fourieranalyse und Fourierkoeffizienten 527

Basistransformationen 528

Fouriertransformationen nicht periodischer Funktionen 529

Basisfunktionen für 2¿l-periodische Funktionen 530

Analyse des Übergangs l ¿ ¿ 530

Die Fouriertransformationen als Basistransformationen 532

Hilberträume in der Physik 533

Vektoren in der klassischen Physik 533

Vektoren in der Mikrophysik 534

Abstrakte Vektoren im Hilbertraum 534

Orte und Impulse 535

Die Heisenbergsche Unschärferelation 536

Hilberträume im Quantencomputing -elementare Konzepte 539

Bits und Qubits 539

Bloch-Sphäre 540

Operationen auf der Bloch-Sphäre 541

2-Qubits 542

EPR-Paare und Quantenteleportation 544

Teil VII: Anhang 547

Anhang A: Methoden einer funktionellen Mengentheorie 549

Zielkonflikte 549

Java-Z-Funktionen 550

Anhang B: Binomialverteilung versus Poissonverteilung 565

Anhang C: Programmierung komplexer Zahlen als abstrakte Datentypen 567

Anhang D: Berechnung von Determinanten 575

Anhang E: Matrizenkalküle 581

Matrixmultiplikation 581

Anhang F: Benutzte Symbole 585

Stichwortverzeichnis 589 

Autoreninfo

Hans-Jürgen Steffens ist Mathematiker und Professor für Software-Engineering und Systemanalyse an der Hochschule Kaiserslautern. Christian Zöllner hat einen Bachelor in Medizintechnischer Informatik und mehrjährige Erfahrung in der Hochschullehre. Kathrin Mühlmann studiert noch und hat selbst gerade erst alle Mathescheine für Angewandte Informatik bestanden.