Nichtstandard Analysis

Produktbeschreibung

Die Nichtstandard-Mathematik hat in den letzten Jahren einen gewaltigen Aufschwung erfahren und die Entwicklungen in den verschiedenartigsten Gebieten beeinflußt und befruchtet. Mit diesem Lehrbuch liegt nun die erste umfassende und leicht verständliche Einführung in dieses Thema in deutscher Sprache vor. An Vorkenntnissen braucht der Leser für ein gewinnbringendes Selbststudium nichts weiter als Grundkenntnisse in Linearer Algebra und Analysis, d.h. Kenntnisse des ersten Studienjahres. Ausführliche Beweise, viele Aufgaben mit Lösungen und eine gelungene didaktische Aufbereitung des Stoffes machen Methoden und Erkenntnisse durchsichtig und verständlich. Trotz der einfachen Lesbarkeit dieses Buches wird an mehreren Stellen bis zu neuesten Forschungsergebnissen vorgestoßen und viele Ergebnisse werden zum ersten Mal in Buchform vorgestellt. Mit diesem Lehrbuch wird der Leser in die Lage versetzt, schnell Nichtstandard-Methoden in den verschiedensten Bereichen selbständig anzuwenden. Es kann außerdem als Basis für ein- oder mehrsemestrige Vorlesungen verwendet werden. Aus dem Vorwort der Autoren: "Wir hoffen, daß unsere Leser beim Studium dieses Buches den Enthusiasmus der Autoren für die Schönheit, Eleganz und Wirksamkeit der Nichtstandard-Methoden teilen werden." 

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung.-
2 Filter und Ultrafilter.-
3 Der Erweiterungskörper _? von ?.-
4 Einfache Nichtstandard-Analysis reellwertiger Funktionen.-
5 Superstrukturen.-
6 Formeln und Aussagen in Superstrukturen.-
7 Das Transfer-Prinzip und satztreue Einbettungen.-
8 Nichtstandard-Einbettungen und die Nichtstandard-Welt.-
9 Die hyperreellen Zahlen.-
10 Nichtstandard-Analysis reellwertiger Folgen und Reihen.-
11 Nichtstandard-Analysis reeller Funktionen.-
12 Nichtstandard-Analysis reeller Funktionenfolgen.-
13 _-Werte spezieller Elemente.-
14 _-Endliche Mengen und ihre _-Elementeanzahl.-
15 Starke Nichtstandard-Einbettungen.-
16 _-Endliche Summen und Integrale.-
17 _-Endliche Polynome.-
18 ?-Funktionen.-
19 _-Differenzierbarkeit und Differentiation linearer Funktionale über C?0.-
20 Distributionen.-
21 Nichtstandard-Beschreibung topologischer Grundbegriffe.-
22 Initiale Topologie und Produkttopologie.-
23 Nichtstandard-Beschreibung weiterer topologischer Begriffe.-
24 Pseudometrische und normierte Räume.-
25 Uniforme Räume.-
26 Topologien in Funktionenräumen und der Satz von Arzel…-Ascoli.-
27 Prä-Nahezustandard-Punkte, Vollständigkeit und Totalbeschränktheit.-
28 ?-kompakte Nichtstandard-Einbettungen und die Standardteil-Abbildung.-
29 Vervollständigungen, Kompaktifizierungen und Nichtstandard-Hüllen.-
30 Hilfsmittel aus der Maßtheorie.-
31 Interne Inhalte und Loeb-Maße.-
32 Darstellung und Zerlegung von Borel-Maßen.-
33 Die schwache Topologie über der Familie aller ?-stetigen W-Maße.-
34 Brownsche Bewegung.-
35 Das Invarianzprinzip in D[0,1.-
36 Konstruktion von Nichtstandard-Einbettungen.-
37 Nelsonsche Nichtstandard-Analysis.-
38 Beziehungenzwischen der Nelsonschen und der Robinsonschen Nichtstandard-Analysis.- VII Anhang.- Lösungen bzw. Anleitungen zu den Aufgaben.- Symbolverzeichnis.