Algebraische Topologie

Produktbeschreibung

Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. In den ersten acht Kapiteln werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincaré Dualität eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln 9 bis 13 werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Die in Kapitel 14 und 15 behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. 

Inhaltsverzeichnis

1 Homologie.- 1.1 Die Axiome einer Homologietheorie.- 1.2 Folgerungen aus den
Axiomen.- 1.3 Elementare Berechnungen.- 1.4 Elementare Anwendungen.- 1.5
Aufgaben.- 2 Singulare Homologie.- 2.1 Kettenkomplexe.- 2.2 Konstruktion der
singulären Homologie.- 2.3 Beweis der Homotopieinvarianz für singuläre
Homologie.- 2.4 Beweis der Ausschneidung für singuläre Homologie.- 2.5 Skizze
der Konstruktion von Bordismustheorie.- 2.6 Die erste singuläre Homologie und
die Fundamentalgruppe.- 2.7 Aufgaben.- 3 CW-Komplexe.- 3.1 CW-Komplexe.- 3.2
Abbildungen zwischen Sphären und ihre Abbildungsgrade.- 3.3 Der zelluläre
Kettenkomplex assoziiert zu einer Homologietheorie.- 3.4 Homologische
Berechnungen mit Hilfe des zellulären Kettenkomplexes.- 3.5 Eindeutigkeit der
Homologie für CW-Komplexe.- 3.6 Simpliziale Komplexe und simpliziale Homologie.-
3.7 Aufgaben.- 4 Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen.- 4.1
Euler-Charakteristik für endliche Kettenkomplexe.- 4.2 Euler-Charakteristik für
endliche CW-Komplexe.- 4.3 Die universelle Eigenschaft der
Euler-Charakteristik.- 4.4 Lefschetz-Zahlen für endliche Kettenkomplexe.- 4.5
Lefschetz-Zahlen für endliche CVF-Komplexe.- 4.6 Lefschetz-Zahlen und
Euler-Charakteristiken auf Mannigfaltigkeiten.- 4.7 Aufgaben.- 5 Kohomologie.-
5.1 Die Axiome einer Kohomologietheorie.- 5.2 Singuläre und zelluläre
Kohomologie.- 5.3 Die Axiome einer multiplikativen Struktur.- 5.4 Der
Kohomologiering projektiver Räume.- 5.5 Das Cup-Produkt für CVF-Komplexe.- 5.6
Aufgaben.- 6 Homologische Algebra.- 6.1 Der Fundamentalsatz der homologischen
Algebra.- 6.2 Der Tor-Funktor.- 6.3 Der Ext-Funktor.- 6.4 Das universelle
Koeffiziententheorem für Homologie.- 6.5 Das universelle Koeffiziententheorem
für Kohomologie.- 6.6 Die Künneth-Formel für Homologie.- 6.7Der Satz von
Eilenberg und Zilber.- 6.8 Die Künneth-Formel für Kohomologie.- 6.9 Die
Bockstein-Sequenz.- 6.10 Direkte Systeme und direkte Limiten.- 6.11 Inverse
Systeme und inverse Limiten.- 6.12 Homologie und Ausschöpfungen.- 6.13
Kohomologie und Ausschöpfungen.- 6.14 Aufgaben.- 7 Produkte.- 7.1 Liste der
verschiedenen Produkte.- 7.2 Natürlichkeit.- 7.3 Assoziativität.- 7.4
Kommutativität.- 7.5 Eins-Elemente.- 7.6 Verträglichkeit mit Randoperatoren.-
7.7 Relationen zwischen den Produkten.- 7.8 Konstruktion der Produkte.- 7.9 Die
Hopf-Invariante.- 7.10 Der Satz von Borsuk-Ulam.- 7.11 Aufgaben.- 8 Dualität.-
8.1 Orientierung.- 8.2 Der Abbildungsgrad.- 8.3 Kohomologie mit kompaktem
Träger.- 8.4 Poincaré-Dualität.- 8.5 Poincaré-Dualität und die
Euler-Charakteristik.- 8.6 Schnittformen.- 8.7 Jordanscher Trennungsatz.- 8.8
Aufgaben.- 9 Glatte Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialbündel.- 9.1 Glatte
Strukturen.- 9.2 Der Tangentialraum.- 9.3 Vektorraumbündel.- 9.4 Das
Tangentialbündel.- 9.5 Aufgaben.- 10 Elementare Lineare Algebra.- 10.1
Konstruktionen von Vektorräumen.- 10.2 Das Dach-Produkt von alternierenden
Multilinearformen.- 10.3 Kanonische Isomorphismen.- 10.4 Determinante und Spur.-
10.5 Skalarprodukte und Orientierungen.- 10.6 Spezielle Basen.- 10.7 Aufgaben.-
11 Parametrisierte Lineare Algebra.- 11.1 Konstruktionen von Vektorraumbündeln.-
11.2 Riemannsche Metriken und Orientierungen.- 11.3 Orientierungen auf
Mannigfaltigkeiten.- 11.4 Aufgaben.- 12 Differentialformen.- 12.1 Definition
einer Differentialform.- 12.2 Das Dach-Produkt von Differentialformen.- 12.3 Die
äußere Ableitung.- 12.4 Integration von Differentialformen.- 12.5 Die
Volumenform.- 12.6 Aufgaben.- 13 Der Satz von Stokes.- 13.1 Mannigfaltigkeiten
mit Rand.- 13.2 Der Satz vonStokes.- 13.3 Anwendungen des Satzes von Stokes.-
13.4 Aufgaben.- 14 De Rham-Kohomologie.- 14.1 Definition der de
Rham-Kohomologie.- 14.2 Homotopieinvarianz der de Rham-Kohomologie.- 14.3 Die
Mayer-Vietoris-Sequenz für die de Rham-Kohomologie.- 14.4 Die multiplikative
Struktur auf der de Rham-Kohomologie.- 14.5 Aufgaben.- 15 Der Satz von de Rham.-
15.1 Glatte singulare Koketten.- 15.2 Glatte Kohomologietheorien.- 15.3 Die de
Rham-Abbildung..- 15.4 Der Beweis des Satzes von de Rham.- 15.5 Verträglichkeit
mit den multiplikativen Strukturen.- 15.6 Der Satz von Hodge-de Rham.- 15.7
Aufgaben.- 16 Anhang.- 16.1 Topologische Räume.- 16.2 Die Teilraumtopologie.-
16.3 Stetige Abbildungen.- 16.4 Kompaktheit.- 16.5 Zusammenhang.- 16.6 Das 2.
Abzählbarkeitsaxiom.- 16.7 Die Summe von topologischen Räumen.- 16.8 Das Produkt
von topologischen Räumen.- 16.9 Homotopie.- 16.10 Identifizierungen.- 16.11
Kategorien.- 16.12 Funktoren und Transformationen.- 16.13 Aufgaben.- Notation. 

Autoreninfo

Wolfgang Lück ist Professor am Fachbereich Mathematik und Informatik an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster.